\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\section*{椭圆函数与圆锥曲线的数学定义和性质}

\subsection*{椭圆函数的数学定义和性质}

椭圆函数（Elliptic Functions）是一类在复平面上具有双周期性的亚纯函数。它们在数学物理、数论和代数几何等领域有重要应用。

\textbf{定义：}
椭圆函数$f(z)$是复平面$\mathbb{C}$上的亚纯函数，如果存在两个非零复数$\omega_1$和$\omega_2$（$\omega_1/\omega_2 \notin \mathbb{R}$），使得对于所有$z \in \mathbb{C}$，都有
$f(z + \omega_1) = f(z), \quad f(z + \omega_2) = f(z).$
则称$f(z)$为椭圆函数，且$\omega_1$和$\omega_2$为其周期。

\textbf{性质：}
1. 周期性：椭圆函数具有两个基本周期，且这两个周期的比值不是实数。
2. 零点与极点：椭圆函数的零点与极点在复平面上形成周期性的点阵。
3. 代数性质：椭圆函数满足某些代数方程，这些方程与椭圆曲线的方程有关。
4. 傅里叶展开：椭圆函数可以表示为傅里叶级数，其系数与椭圆曲线的参数有关。

\subsection*{圆锥曲线的数学定义和性质}

圆锥曲线（Conic Sections）是平面几何中一类重要的曲线，它们可以通过平面切割圆锥得到。圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

\textbf{定义：}
圆锥曲线是满足以下二次方程的点集
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$
其中$A, B, C, D, E, F$是实数，且$A, B, C$不同时为零。

根据判别式$\Delta = B^2 - 4AC$的不同取值，圆锥曲线可以分为以下三类：

1. **椭圆**：当$\Delta < 0$且$A, C > 0$（或$A, C < 0$）时，方程表示一个椭圆。
2. **双曲线**：当$\Delta > 0$时，方程表示一个双曲线。
3. **抛物线**：当$\Delta = 0$时，方程表示一个抛物线。

\textbf{性质：}
1. **对称性**：圆锥曲线关于其对称轴对称，且（对于椭圆和双曲线）关于原点对称。
2. **焦点与准线**：圆锥曲线有特定的焦点和准线，这些性质在光学和物理中有重要应用。
3. **切线性质**：圆锥曲线上的每一点都有唯一的切线。
4. **交点性质**：两条圆锥曲线（除非它们平行或重合）在平面上有两个交点（可能重合或虚交点）。

\end{document}
